Question

10．已知f（x）=x²-2ax-3a²
（1）設(shè)a=1，解不等式f（x）＞0；
（2）若不等式f（x）＜x的解集中有且僅有一個整數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若a＞$\frac{1}{4}$，且當x∈[1，4a]時，|f（x）|≤4a恒成立，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入函數(shù)的表達式，令f（x）＞0，解出即可；
（2）通過討論a=0，a≠0兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，得到不等式組，從而求出a的范圍；
（3）通過討論a的范圍，得到不等式組，解出即可．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
令f（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1；
（2）令g（x）=x²-（2a+1）x-3a²，
若a=0，則g（x）=x²-x，令g（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）＜x的解集為（0，1），不滿足條件；
若a≠0，則g（0）＜0，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（{-1}）≥0}\end{array}}\right.$，得$\frac{{1-\sqrt{7}}}{3}≤a＜0$，
（3）若$\frac{1}{4}＜a≤1$，則$\left\{{\begin{array}{l}{|{f（1）}|≤4a}\\{|{f（{4a}）}|≤4a}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{|{1-2a-3{a^2}}|≤4a}\\{|{5{a^2}}|≤4a}\end{array}}\right.$，得$\frac{1}{4}＜a≤\frac{4}{5}$，
若a＞1，|f（4a）|=|5a²|≤4a不成立，
所以a的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．