Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=4，點E在線段AB上，過點E作EF∥BC交AC于點F，將△AEF沿EF折起到△PEF的位置（點A與P重合），使得∠PEB=30°．
（I ）求證：EF丄PB；
（II ）試問：當(dāng)點E在何處時，四棱錐P-EFCB的側(cè)面PEB的面積最大？并求此時四棱錐P-EFCB的體積

Answer 1

分析：（I）根據(jù)Rt△ABC中，EF∥BC，我們易得EF與對折后的PE，BE均垂直，進而得到EF與平面PBE垂直，再由線面垂直的定義得到結(jié)論．
（II）由AB=BC=4，∠PEB=30°，我們可以設(shè)PE=X，進而表示出四棱錐P-EFCB的側(cè)面PEB的面積S（含參數(shù)X）然后根據(jù)函數(shù)的最值，側(cè)面PEB的面積最大值時E的位置，及此時四棱錐P-EFCB的體積．

解答：解：（I）在RT△ABC中，
∵EF∥BC，AB⊥BC
∴EF⊥AB
∴EF⊥EB，EF⊥EP
又∵EB∩EP=E，
∴EF⊥平面PEB
∴EF⊥PB
（II）由（I）知EF⊥平面PEB，又∵EF?平面BCFE
∴平面BCFE⊥平面PEB，
又∵平面BCFE∩平面PEB=BE
在平面PEB內(nèi)，過P點作PD⊥BE于D
∴PD⊥平面BCFE
設(shè)PE=x，x∈（0，4），則BE=4-x
在RT△PED中，∵∠PEB=30°
∴PD=

1

2

x，
∴S_△PEB=

1

2

×PD×BE=

1

2

×（4-x）×

1

2

x=-

1

4

(x-2)2+1
當(dāng)且僅當(dāng)x=2，即E為AB的中點時，△PED面積最大
此時PD=1
易得S_EFCB=

1

2

(4+2)×2=6
∴V_P-EFCB=

1

3

×S_EFCB×PD=

1

3

×6×1=2

點評：本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、棱錐體積公式等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力、考查函數(shù)與方程思想．