已知數(shù)列{an}的首項a1=1,且滿足
(I)設(shè),求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(II)設(shè),求數(shù)列{cn}的前n項和Sn
【答案】分析:(I)為等差數(shù)列的證明,由取倒數(shù),得到,即bn+1-bn=4,故數(shù)列{bn}是以1為首項,4為公差的等差數(shù)列,易求通項公式.
(II)為數(shù)列的求和,由可知數(shù)列的每一項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積構(gòu)成,故可由錯位相減法求和.
解答:解:(Ⅰ)∵,∴,即,∴bn+1-bn=4.
∴數(shù)列{bn}是以1為首項,4為公差的等差數(shù)列.∴=4n-3,
∴數(shù)列{an}的通項公式為
(Ⅱ)由(Ⅰ)知=(4n-3)2n
…①
同乘以2得,…②
②-①得,
==2-(4n-3)2n+1+16×2n-1-16
=-14+2n+1×(4-4n+3)=-14+(7-4n)2n+1
∴數(shù)列{cn}的前n項和
點評:本題為數(shù)列的綜合問題:(1)為等差數(shù)列的證明,關(guān)鍵是證明bn+1-bn為與n無關(guān)的常數(shù).(2)為數(shù)列的求和,由錯位相減法求和可得結(jié)果,注意運算過程中的等比數(shù)列的求和.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項a1=
1
2
,前n項和Sn=n2an(n≥1).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)b1=0,bn=
Sn-1
Sn
(n≥2)
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,求證:Tn
n2
n+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項為a1=2,前n項和為Sn,且對任意的n∈N*,當(dāng)n≥2,時,an總是3Sn-4與2-
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Sn-1
的等差中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=(n+1)an,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,n∈N*,求Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•江門一模)已知數(shù)列{an}的首項a1=1,若?n∈N*,an•an+1=-2,則an=
1,n是正奇數(shù)
-2,n是正偶數(shù)
1,n是正奇數(shù)
-2,n是正偶數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項為a1=3,通項an與前n項和sn之間滿足2an=Sn•Sn-1(n≥2).
(1)求證:數(shù)列{
1Sn
}
是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)求數(shù)列{an}中的最大項.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項a1=
2
3
,an+1=
2an
an+1
,n∈N+
(Ⅰ)設(shè)bn=
1
an
-1
證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)數(shù)列{
n
bn
}的前n項和Sn

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