Question

已知直線l：y=x+b（b∈R）與圓C：（x-a）²+y²=8（a＞0）．
（1）若直線l與圓C相切于點P，且點P在y軸上，求圓C的方程；
（2）當b=2時，是否存在a，使得直線l與⊙C相交于A、B兩點，且滿足

OA

•

OB

=-1，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）法一：依題意，點P的坐標為（0，b），…（1分）
∵CP⊥l，∴

0-b

a-0

×1=-1，得b=a，…（1分）
又P（0，b）在圓C上，∴a²+b²=8，…（1分）
又∵a＞0從而解得a=b=2，故所求圓的方程為（x-2）²+y²=8．…（2分）
法二：依題意，所求圓與直線x-y+b=0相切于點P（0，b），
則

a2+b2=8 |a-0+b| 2 =2 2 a＞0

，解得

a=2 b=2

，故所求圓的方程為（x-2）²+y²=8．
（2）當b=2時，假設存在a，使直線l：y=x+2與圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
聯(lián)立方程組

y=x+2 (x-a)2+y2=8

  消去y得  2x²+（4-2a）x+a²-4=0
∴x₁+x₂=a-2，x1•x2=

a2-4

2

，…（2分）
又∵y₁•y₂=（x₁+2）（x₂+2）=x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4
∴

OA

•

OB

=x1•x2+y1•y2=2x1•x2+2(x1+x2)+4=（a²-4）+2（a-2）+4=-1
即：a²+2a-3=0，解得：a=1或a=-3…（3分）
又∵△=（4-2a）²-8（a²-4）＞0，得a²+4a-12＜0?-6＜a＜2，
而a＞0，
∴0＜a＜2
故存在a=1，使得直線l與⊙C相交于A、B兩點，且滿足

OA

•

OB

=-1…（3分）