Question

【題目】（1）在圓內(nèi)直徑所對(duì)的圓周角是直角.此定理在橢圓內(nèi)（以焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)形式為例）可表述為“過(guò)橢圓的中心的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)，斜率存在時(shí)，它們之積為定值.”試求此定值；

（2）在圓內(nèi)垂直于弦的直徑平分弦.類(lèi)比（1）將此定理推廣至橢圓，不要求證明.

Answer 1

【答案】（1）定值為 (2)見(jiàn)證明

【解析】

（1）設(shè)，，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，由兩點(diǎn)間的斜率坐標(biāo)表示及點(diǎn)在橢圓上的等量關(guān)系化簡(jiǎn)可得解；

（2）類(lèi)比第一問(wèn)，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

（1）設(shè)，，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知

∵直線(xiàn)，的斜率存在，

∴ ①

又∵在橢圓上

∴， ②

將②代入①得

故此定值為.

（2）此定理在橢圓內(nèi)可表述為：

為橢圓的任意一條存在斜率的弦，的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積為定值.

設(shè)，，則

①

又∵在橢圓上

∴， ②

將②代入①得

故此定值為.