如圖，在三棱錐中，，，，設(shè)頂點A在底面上的射影為R．
（Ⅰ）求證: ；
（Ⅱ）設(shè)點在棱上，且，試求二面角的余弦值．
（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）借助幾何體的中線面垂直，證明BCDE為正方形，達(dá)到證明線線垂直的目的；（Ⅱ）方法一利用定義法做出二面角，通過解三角形求解二面角的平面角；方法二建立利用空間向量法，通過兩個半平面的法向量借助夾角公式求解.
試題解析：證明：方法一：由平面，得，
又，則平面，
故，                3分
同理可得，則為矩形，
又，則為正方形，故．        5分

方法二：由已知可得，設(shè)為的中點，則，則平面，故平面平面，則頂點在底面上的射影必在，故．
（Ⅱ）方法一:由（I）的證明過程知平面，過作，垂足為，則易證得，故即為二面角的平面角，           8分
由已知可得，則，故，則，
又，則，              10分
故，即二面角的余弦值為 12分
方法二: 由（I）的證明過程知為正方形，如圖建立坐標(biāo)系，

則，，，可得，       8分
則，，易知平面
的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則由得         10分
則，即二面角的余弦值為．    12分
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為矩形，，，分別是的中點，．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示的幾何體ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等邊三角形，且所在平面平行，四邊形BCED是邊長為2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC．
（Ⅰ）求幾何體ABCDFE的體積；
（Ⅱ）證明：平面ADE∥平面BCF；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)、是不同的直線，、是不同的平面，則下列命題：
①若，則；②若，則；
③若，則；④若，則.
其中正確命題的個數(shù)是           （   ）
A．0B．1C．2D．3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在三棱錐中，，底面是正三角形，、分別是側(cè)棱、的中點．若平面平面，則平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值等于(      )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

對于不重合的直線和不重合的平面，下列命題錯誤的是（   ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題中錯誤的是（  ）
A．若，則∥
B．若∥，∥，則∥
C．若∥，則∥
D．若是異面直線，∥，∥，則∥

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，是邊長為2的正三角形，平面ABC，平面平面ABC，BD=CD，且．

（1）若AE=2，求證：AC∥平面BDE；
（2）若二面角A—DE—B為60°．求AE的長。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，


(1)求四棱錐S-ABCD的體積;
(2)求證：
(3)求SC與底面ABCD所成角的正切值。

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