Question

已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：對(duì)任意的 ，有.

 

Answer 1

【答案】

（1）①時(shí)，在（0,1）是增函數(shù)，在是減函數(shù)；

②時(shí)，在（0,1），是增函數(shù)，在是減函數(shù)；

③時(shí)，在是增函數(shù).

（2）見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)得到，而后根據(jù)兩個(gè)駐點(diǎn)的大小比較，分以下三種情況討論.

①時(shí)，在（0,1）是增函數(shù)，在是減函數(shù)；

②時(shí)，在（0,1），是增函數(shù)，在是減函數(shù)；

③時(shí)，在是增函數(shù).

（2）注意到時(shí)，在是增函數(shù)

當(dāng)時(shí)，有.從而得到：對(duì)任意的，有

通過構(gòu)造，并放縮得到

利用裂項(xiàng)相消法求和，證得不等式。涉及數(shù)列問題，往往通過“放縮、求和”轉(zhuǎn)化得到求證不等式.

試題解析：（1）      1分

①時(shí)，在（0,1）是增函數(shù)，在是減函數(shù)；        3分

②時(shí)，在（0,1），是增函數(shù)，在是減函數(shù)；      5分

③時(shí)，在是增函數(shù).      6分

（2）由（1）知時(shí)，在是增函數(shù)

當(dāng)時(shí)，.

對(duì)任意的，有

                  8分

                  10分

所以

                     12分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，“裂項(xiàng)相消法”求和.