Question

如圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系．點(diǎn)在正方體的對(duì)角線上，點(diǎn)在正方體的棱上．

當(dāng)點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的最小值；

當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的最小值；

當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的最小值．

由以上問(wèn)題，你得到了什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？

 

Answer 1

（1）有最小值  （2）取得最小值  （3）最小值是

解析:

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為．

當(dāng)點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．

因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)．

　　　．

當(dāng)時(shí)，的最小值為，即點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時(shí)，有最小值．

因?yàn)?img width=16 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/197/50997.gif">在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)．是定點(diǎn)，所以當(dāng)

時(shí)，最短．因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，，是等腰三角形，所以，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，取得最小值．

當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)

時(shí)，的最小值仍然是．

證明：如下圖，設(shè)，由正方體的對(duì)稱性，顯然有．

設(shè)在平面上的射影是．在中，，所以，即有．

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是．

由已知，可設(shè)，則

．

當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值是．