已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R,且對于任意x1,x2∈R,存在正實數(shù)L,使得|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|都成立.
(1)若f(x)=
1+x2
,求L的取值范圍;
(2)當(dāng)0<L<1時,數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n=1,2,….
①證明:
n
k=1
|ak-ak+1|≤
1
1-L
|a1-a2|

②令Ak=
a1+a2+…ak
k
(k=1,2,3,…)
,證明:
n
k=1
|Ak-Ak+1|≤
1
1-L
|a1-a2|
分析:(1)由|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|,可得
|x1-x2|•|x1+x2|
1+
x
2
1
+
1+
x
2
2
≤L|x1-x2|,從而當(dāng)x1≠x2時,得L≥
|x1+x2|
1+
x
2
1
+
1+
x
2
2
,進(jìn)而有L≥1,當(dāng)x1=x2時,|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|恒成立,故問題得解;
(2)①由于an+1=f(an),n=1,2,…,所以當(dāng)n≥2時,|an-an+1|=|f(an-1)-f(an)|≤L|an-1-an|=L|f(an-2)-f(an-1)|≤L2|an-2-an-1|≤…≤Ln-1|a1-a2|,從而
n
k=1
|ak-ak+1|=|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a4|+…+|an-an+1|
≤(1+L+L2+…+Ln-1)|a1-a2|=
1-Ln
1-L
|a1-a2
|.所以問題可證
②由Ak=
a1+a2+…ak
k
,表達(dá)出|Ak-Ak+1|=|
a1+a2+…+ak
k
-
a1+a2+…+ak+1
k+1
|
=
1
k(k+1)
|(a1-a2)+2(a2-a3)+3(a3-a4)+…+k(ak-ak+1)
|,再利用①的結(jié)論可解.
解答:解:(1)證明:對任意x1,x2∈R,有
|f(x1)-f(x2)|=|
1+
x
2
1
-
1+
x
2
2
|=|
x
2
1
-
x
2
2
1+
x
2
1
+
1+
x
2
2
|=
|x1-x2|•|x1+x2|
1+
x
2
1
+
1+
x
2
2
.…2分
由|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|,即
|x1-x2|•|x1+x2|
1+
x
2
1
+
1+
x
2
2
≤L|x1-x2|.
當(dāng)x1≠x2時,得L≥
|x1+x2|
1+
x
2
1
+
1+
x
2
2

1+
x
2
1
>|x1|,
1+
x
2
2
>|x2
|,且|x1|+|x2|≥|x1+x2|,
|x1+x2|
1+
x
2
1
+
1+
x
2
2
|x1+x2|
|x1|+|x2|
≤1.…4分
∴要使|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|對任意x1,x2∈R都成立,只要L≥1.
當(dāng)x1=x2時,|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|恒成立.
∴L的取值范圍是[1,+∞).…5分
(2)證明:①∵an+1=f(an),n=1,2,…,
故當(dāng)n≥2時,|an-an+1|=|f(an-1)-f(an)|≤L|an-1-an|=L|f(an-2)-f(an-1)|≤L2|an-2-an-1|≤…≤Ln-1|a1-a2|
n
k=1
|ak-ak+1|=|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a4|+…+|an-an+1|
≤(1+L+L2+…+Ln-1)|a1-a2|…7分
=
1-Ln
1-L
|a1-a2
|.
∵0<L<1,∴
n
k=1
|ak-ak+1|≤
1
1-L
|a1-a2|
(當(dāng)n=1時,不等式也成立).…9分
②∵Ak=
a1+a2+…ak
k
,
|Ak-Ak+1|=|
a1+a2+…+ak
k
-
a1+a2+…+ak+1
k+1
|
=|
1
k(k+1)
(a1+a2+…+ak-kak+1)
|
=
1
k(k+1)
|(a1-a2)+2(a2-a3)+3(a3-a4)+…+k(ak-ak+1)
|
1
k(k+1)
(|a1-a2|+2|a2-a3|+3|a3-a4|+…+k|ak-ak+1|)
. …11分
n
k=1
|Ak-Ak+1|=|A1-A2|+|A2-A3|+…+|An-An+1|

≤|a1-a2|(
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n+1)
)+2|a2-a3|(
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
)

+3|a3-a4|(
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
n(n+1)
)+…+n|an-an+1
1
n(n+1)

=|a1-a2|(1-
1
n+1
)+|a2-a3|(1-
2
n+1
)+…+|an-an+1|(1-
n
n+1
)

≤|a1-a2|+|a2-a3|+…+|an-an+1|≤
1
1-L
|a1-a2
|.…14分
點評:本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列求和、絕對值不等式等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

16、已知函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù)且在[0,+∞)上是增函數(shù),若f(a+2)+f(a)>0,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2、已知函數(shù)y=f(x+1)的圖象過點(3,2),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x軸的對稱圖形一定過點( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=x(1-x),那么當(dāng)x>0時,f(x)=
-x(1+x)
-x(1+x)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0 時,f(x)的圖象如圖所示,則不等式x[f(x)-f(-x)]≤0 的解集為
[-3,3]
[-3,3]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖,則滿足f(log2(x-1))•f(2-x2-1)≥0的x的取值范圍為
(1,3]
(1,3]

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案