已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n-1
（Ⅰ）求證：數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項和前n項和Sn．
分析：（Ⅰ）由數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n-1，變形為an+1+（n+1）=2（an+n）即可證明；
（II）利用等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．
解答：解：（Ⅰ）由數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n-1，變形為an+1+（n+1）=2（an+n）．
∴數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列，其中首項為a1+1=2，公比為2；
（II）由（I）可得：an+n=2×2n-1，∴an=2n-n．
∴Sn=
2(2n-1)
2-1
-
n(n+1)
2
=2n+1-2-
n(n+1)
2
．
點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和公式，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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