Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x|（x﹣a），a為實數(shù)．

（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；

（2）若函數(shù)f（x）在[0，2]為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）是否存在實數(shù)a（a＜0），使得f（x）在閉區(qū)間上的最大值為2，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) a=0．（2）a≤0（3）a=﹣3．

【解析】試題分析：（1）因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（﹣x）=﹣f（x），根據(jù)函數(shù)解析式，化簡式子得2a|x|=0對任意x∈R恒成立，求得 ；（2）當(dāng) 時，f（x）=|x|（x﹣a）可去掉絕對值號得f（x）=x（x﹣a），其對稱軸為 ，要使函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，由二次函數(shù)的圖像可得 ，求 的范圍。（3）當(dāng) 時， 的解析式去掉絕對值號可得 ，因為f（x）在閉區(qū)間上的最大值為2，由特殊值 ，限定 的范圍，因為函數(shù)的對稱軸為 ，因為a＜0，所以函數(shù)在（0，+∞）上遞增，所以，所以必在區(qū)間[﹣1，0]上取最大值2，討論函數(shù)在[﹣1，0]上的單調(diào)性，最大值等于2，可求實數(shù) 的值。

試題解析：（1）因為奇函數(shù)f（x）定義域為R，

所以f（﹣x）=﹣f（x）對任意x∈R恒成立，

即|﹣x|（﹣x﹣a）=﹣|x|（x﹣a），即|x|（﹣x﹣a+x﹣a）=0，

即2a|x|=0對任意x∈R恒成立，

所以a=0．

（2）因為x∈[0，2]，所以f（x）=x（x﹣a），

顯然二次函數(shù)的對稱軸為，由于函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，

所以，

即a≤0（若分a＜0，a=0，a＞0三種情況討論即可）

（3）∵a＜0，，

∴f（﹣1）=﹣1﹣a≤2，∴﹣a≤3（先用特殊值約束范圍）

∴，f（x）在（0，+∞）上遞增，

∴f（x）必在區(qū)間[﹣1，0]上取最大值2．

當(dāng)，即a＜﹣2時，則f（﹣1）=2，a=﹣3成立

當(dāng)，即0＞a≥﹣2時，，則（舍）

綜上，a=﹣3．