Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為“倍約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)：
①f（x）=2x；②f（x）=x²+1；③f(x)=sin(x+

π

4

)；④f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R的奇函數(shù)，且對(duì)一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是“倍約束函數(shù)”的是

 

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據(jù)“倍約束函數(shù)”，的定義進(jìn)行判定：對(duì)①f（x）=2x，易知存在K=2符合題意；對(duì)于②可以利用絕對(duì)值的性質(zhì)將不等式變形為|x|≤m；對(duì)③特值即可解答；對(duì)于④，通過(guò)取x₂=0，如此可得到正確結(jié)論．

解答：解：∵對(duì)任意x∈D，存在正數(shù)K，都有|f（x）|≤K|x|成立∴對(duì)任意x∈D，存在正數(shù)K，都有 K≥

|f(x)|

|x|

成立
∴對(duì)①f（x）=2x，易知存在K=2符合題意；
對(duì)于②，顯然不存在M都有|x|≤M成立，故B錯(cuò)；
對(duì)于③，當(dāng)x→o時(shí)

|f(x)|

|x|

→+∞，故不存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立；
對(duì)于④，當(dāng)x=0，因|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到|f（x）|≤2|x|成立，這樣的M存在，故正確；
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于開(kāi)放式題，題型新穎，考查數(shù)學(xué)的閱讀理解能力．知識(shí)點(diǎn)方面主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，考生需要有較強(qiáng)的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，對(duì)選支逐個(gè)加以分析變形，利用函數(shù)、不等式的進(jìn)行檢驗(yàn)，方可得出正確結(jié)論．