Question

已知函數是自然數）是奇函數，f（x）有最大值，且，試求函數f（x）的解析式．

Answer 1

解：由f（x）為奇函數得f（-x）+f（x）=0，即+=0，
∴c=0．
又a＞0，b是自然數，
∴當x＜0時，f（x）＜0，
當x＞0時，f（x）＞0，
故f（x）的最大值必在x＞0時取得；
當x＞0時，f（x）==≤，
當且僅當ax=，即x=時取得=，即a=b²，
又f（1）＞，
∴＞，
∴2b²-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，
∴＜b＜2 又a＞0，b是自然數可得a=b=1，
∴f（x）=．
分析：由f（x）為奇函數可知f（-x）+f（x）=0，求得c=0； 依題意可知f（x）的最大值必在x＞0時取得，利用基本不等式可求得f（x）≤=，于是a=b²，最后由f（1）＞，即可求得＜b＜2 又a＞0，b是自然數可得a=b=1．
點評：本題考查函數奇偶性的性質，考查基本不等式的應用，由基本不等式結合題意得到a=b²是關鍵，考查分析、轉化與運算能力，屬于中檔題．