Question

已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，，且△PF₁F₂的三邊構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若，求橢圓方程；
（Ⅲ） 若c=1，點(diǎn)P在第一象限，且△PF₁F₂的外接圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)﹒

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意：A（-a，0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），設(shè)P（s，t），利用向量的坐標(biāo)及，即可求得橢圓的離心率；
（Ⅱ）不妨設(shè)|PF₁|＜|PF₂|，先確定|PF₁|=2c-1，|PF₂|=2c+1，可得，由此可求橢圓方程；
（Ⅲ）法一：先求出橢圓方程，設(shè)△PF₁F₂的外接圓方程，利用F₁（-1，0）和P（s，t）在圓上，可表示圓心坐標(biāo)與半徑，利用△PF₁F₂的外接圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，即兩圓相切，且是內(nèi)切，即可求得結(jié)論；
法二：先求出橢圓方程，由題△PF₁F₂的外接圓圓心必在y軸上，設(shè)其圓心為M（0，m），半徑為r，則利用△PF₁F₂的外接圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，即可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（Ⅰ）依題意：A（-a，0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），設(shè)P（s，t），
由得：
即，∴a=2c，∴
∴橢圓的離心率是；
（Ⅱ）不妨設(shè)|PF₁|＜|PF₂|，由|F₁F₂|=2c，及△PF₁F₂的三邊構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，再結(jié)合a=2c得：|PF₁|=2c-1，|PF₂|=2c+1，所以，①×2-②-③得：c²=9，所以橢圓方程是．
（Ⅲ）法一：∵c=1，a=2c，∴a=2，∴b²=3，∴橢圓方程是，
設(shè)P（s，t），則，，以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的圓心為（0，0），半徑為2，
設(shè)△PF₁F₂的外接圓方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，
又F₁，F(xiàn)₂關(guān)于y軸對(duì)稱，故D=0，即圓方程為x²+y²+Ey+F=0，
由F₁（-1，0）和P（s，t）在圓上得：，∴
則圓心坐標(biāo)為，半徑為
△PF₁F₂的外接圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，即兩圓相切，且是內(nèi)切，
∴OM=|2-r|或（此方程無(wú)解）
解得：，
由得：2t²-9t-18=0，（舍去）或t=-6（舍去）
由得：2t²+9t-18=0，或t=-6（舍去），所以點(diǎn)P坐標(biāo)．
法二：由題△PF₁F₂的外接圓圓心必在y軸上，設(shè)其圓心為M（0，m），半徑為r，則，由題s，t，m，r＞0，從而解得，
所以點(diǎn)P坐標(biāo)為
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查圓的方程，屬于中檔題．