Question

函數是定義在（-1，1）上的奇函數，且
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷并證明f（x）在（-1，1）的單調性；
（Ⅲ）求滿足f（t-1）+f（t）＜0的t的范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數是定義在（-1，1）的奇函數
∴f（0）=0，∴b=0
∵．
∴=，∴a=1
∴；
（Ⅱ）函數f（x）在（-1，1）上為增函數，證明如下
在區(qū)間（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=-=；
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
故函數f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數；
（Ⅲ）∵f（t-1）+f（t）＜0
∴f（t-1）＜-f（t）
∴f（t-1）＜f（-t）
∵函數f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數
∴
∴0＜t＜．
分析：（Ⅰ）若奇函數在x=0處有定義，則f（0）=0，代入即可得b，再由代入即可得a值；
（Ⅱ）利用單調性定義即可證明；
（Ⅲ）利用函數的單調性和奇偶性將不等式中的f脫去，等價轉化為關于t的不等式組，解之即可．
點評：本題考查函數奇偶性與單調性的性質應用，著重考查學生理解函數奇偶性與用定義證明單調性及解方程，解不等式組的能力，屬于中檔題．