【答案】
分析:(1)求出函數(shù)的定義域,求出導(dǎo)函數(shù),討論當(dāng)k為奇數(shù)時,當(dāng)k為偶數(shù)時兩種情形,然后利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系求出單調(diào)性.
(2)①由已知得
,得到
,從而
是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列{a
n}的通項公式;
②由
,可得
,下面利用拆項法求S
n并化簡,從而得出證明.
(3)對于存在性問題,可先假設(shè)存在,即假設(shè)存在實數(shù)b,使方程使
在區(qū)間(0,2]上恰有兩個相異實根.再利用其等價于方程
在區(qū)間(0,2]上恰有兩個相異實根.求出b的范圍,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.
解答:解:(1)由已知得x>0,且
當(dāng)k為奇數(shù)時,則f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
當(dāng)k為偶數(shù)時,則
,
所以當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)<0,f(x)是減函數(shù);當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,f(x)是增函數(shù).故當(dāng)k為偶數(shù)時,f(x)在(0,1)是減函數(shù),在(1,+∞)是增函數(shù);…(5分)
(2)①由已知得
,即
,而
所以
是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,故
,而{a
n}是正項數(shù)列,從而可得
. …(7分)
②由
,可得
所以
=
…(10分)
(3)當(dāng)k為奇數(shù)時,f(x)=x
2+2lnx,假設(shè)存在實數(shù)b,使方程使
在區(qū)間(0,2]上恰有兩個相異實根.等價于方程
在區(qū)間(0,2]上恰有兩個相異實根.令
,
則
,
當(dāng)x∈(0,1)時,h'(x)>0,當(dāng)x∈(1,2]時,h'(x)<0
所以h(x)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,2]上是減函數(shù)
所以要使方程
在區(qū)間(0,2]上恰有兩個相異實根,等價于
故存在實數(shù)b,當(dāng)
時,方程
在區(qū)間(0,2]上恰有兩個相異實根. …(13分)
點評:本題考查利用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性:導(dǎo)函數(shù)為正函數(shù)遞增;導(dǎo)函數(shù)為負(fù),函數(shù)遞減,同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.