Question

已知拋物線C：，過(guò)C上一點(diǎn)M，且與M處的切線垂直的直線稱為C在點(diǎn)M的法線．

（1）若C在點(diǎn)M的法線的斜率為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（x₀，y₀）；

（2）設(shè)P（－2，a）為C對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在C上是否存在點(diǎn)，使得C在該點(diǎn)的法線通過(guò)點(diǎn)P？若有，求出這些點(diǎn)，以及C在這些點(diǎn)的法線方程；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

M（－1，）（2）當(dāng)a＞0時(shí)，有三個(gè)點(diǎn)（－2＋，），（－2－，）及（－2，－）；法線過(guò)點(diǎn)P（－2，a），其方程分別為：

x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2；

 a≤0時(shí)，有一個(gè)點(diǎn)（－2，－）法線過(guò)點(diǎn)P（－2，a），其方程為：x＝－2。

【解析】（1）由題意設(shè)過(guò)點(diǎn)M的切線方程為：，代入C得，

則，∴，

即M（－1，）．

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，假設(shè)在C上存在點(diǎn)滿足條件．設(shè)過(guò)Q的切線方程為：，代入，則，

且．當(dāng)時(shí)，由于，

∴ 或  ；當(dāng)k=0時(shí)，顯然也滿足要求．

∴有三個(gè)點(diǎn)（－2＋，），（－2－，）及（－2，－），

且過(guò)這三點(diǎn)的法線過(guò)點(diǎn)P（－2，a），其方程分別為：

x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2.

當(dāng)a≤0時(shí)，在C上有一個(gè)點(diǎn)（－2，－），在這點(diǎn)的法線過(guò)點(diǎn)P（－2，a），其方程為：x＝－2.

考點(diǎn)：拋物線與直線相切。

點(diǎn)評(píng)：在解決拋物線與直線相切的問(wèn)題時(shí)，一般聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得關(guān)于x的一元二次方程，然后利用方程有唯一解，△=0來(lái)求解。