Question

已知

a

=（sinx+2cosx，3cosx），

b

=（sinx，cosx），且f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)f（x）與a，b的關(guān)系得到關(guān)于x的三角函數(shù)．并根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到最值．
（2）根據(jù)（1）得到的三角函數(shù)，由圖象和性質(zhì)判斷出單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)[0，π]的范圍得出結(jié)果

解答：解：（1）因?yàn)?span id="ussy0ky" class="MathJye">

a

=（sinx+2cosx，3cosx），

b

=（sinx，cosx），
所以，f（x）=（sinx+2cosx）sinx+3cosx•cosx
=1+sin2x+1+cos2x
=

2

sin(2x+

π

4

)+2，
所以，當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=

π

8

+kπ，k∈Z時(shí)，
f（x）取得最大值

2

+2；
（2）由（1）由知f（x）的最小正周期是π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
所以f（x）在[0，π]上的遞增區(qū)間為[0，

π

8

]和[

5π

8

，π]
∴f（x）的最大值為

2

+2；f（x）在[0，π]上的遞增區(qū)間為[0，

π

8

]和[

5π

8

，π]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角函數(shù)的運(yùn)算以及求單調(diào)區(qū)間和最值問(wèn)題的方法．屬于中檔題