Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=t（t＞0）對稱，求t的最小值；
（2）若存在x₀∈[-

π

12

，

π

6

]，使得mf（x₀）-2=0成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若存在區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6個零點，在滿足上述條件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個數(shù)判斷,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）令2x+

π

3

=kπ+

π

2

解得x可得所有的對稱軸，結(jié)合條件可得t的最小值；（2）由x₀的范圍可得f（x₀）的范圍，進而可得m的不等式，解不等式可得；（3）由題意可得x=kπ-

π

4

或x=

7π

12

，k∈Z，即f（x）的零點間依次為

π

3

和

2π

3

，可得b-a的最小值為2×

2π

3

+3×

π

3

，計算可得．

解答： 解：（1）令2x+

π

3

=kπ+

π

2

可得x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸為x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，
取k=0可得t的最小值為

π

12

；
（2）當(dāng)x₀∈[-

π

12

，

π

6

]時，2x₀+

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（2x₀+

π

3

）∈[

1

2

，1]，∴f（x₀）∈[2，3]
要使mf（x₀）-2=0成立，只需f（x₀）=

2

m

，即

2

m

∈[2，3]
解得m∈[

2

3

，1]；
（3）由f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1=0可得sin（2x+

π

3

）=-

1

2

，
∴2x+

π

3

=2kπ-

π

6

，或2x+

π

3

=2kπ-

5π

6

，
解得x=kπ-

π

4

或x=

7π

12

，k∈Z，
即f（x）的零點間依次為

π

3

和

2π

3

，
要使y=f（x）在[a，b]上至少含有6個零點，
結(jié)合圖象可知b-a≥2T+

π

3

=

7π

3

．
∴b-a的最小值為

7π

3

．

點評：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象，涉及根的個數(shù)的判斷，屬中檔題．