Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n．等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，且b₂+S₂=12，a₃=b₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè){a_n}公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，由已知可得

q+3+3+d=12 q2=3+2d

，由此能求出數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由Sn=

n(3+3n)

2

，得

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè){a_n}公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，
由已知可得

q+3+3+d=12 q2=3+2d

，
又q＞0，∴

d=3 q=3

，
∴a_n=3+3（n-1）=3n，bn=3n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n=3n，
∴Sn=

n(3+3n)

2

，
∴

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

2

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

2

3

(1-

1

n+1

)
=

2n

3(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式和數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和T_n的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．