Question

【題目】已知O為坐標原點，拋物線E的方程為x2＝2py（p＞0），其焦點為F，過點M （0，4）的直線與拋物線相交于P、Q兩點且△OPQ為以O為直角頂點的直角三角形．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）設點N為曲線E上的任意一點，證明：以FN為直徑的圓與x軸相切．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）x2＝4y；（Ⅱ）見解析

【解析】

（I）設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，化簡后寫出根與系數(shù)關系，根據(jù)三角形是直角三角形，結合向量數(shù)量積的坐標運算列方程，解方程求得，由此求得拋物線方程.

（II）設出的坐標，求得線段中點的縱坐標，結合拋物線的性質，證得結論成立.

（Ⅰ）由題意可得直線l的斜率存在，設直線l的方程為：y＝kx+4，設P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯(lián)立直線l與拋物線的方程，整理可得：x2﹣8kpx﹣8p＝0，

所以x1x2＝﹣8p，所以y1y216，

因為△OPQ是以O為直角頂點的直角三角形，所以0，即x1x2+y1y2＝0，所以﹣8p+16＝0，解得p＝2，

所以拋物線的方程為：x2＝4y；

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得F（0，1），準線方程為：y＝﹣1，

設N（m，n），則NF的中點M的縱坐標，即以NF為直徑的圓的圓心M到x軸的距離為，

而由拋物線的性質可得|NF|＝n+1，即以NF為直徑的圓的半徑為，

所以可得圓心M到x軸的距離恰好等于圓的半徑，所以可證得以FN為直徑的圓與x軸相切．