Question

已知周長為48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M、N為焦點，且過P的雙曲線方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵△PMN的周長為48，且tan∠PMN＝， 　　∴設|PN|＝3k，|PM|＝4k(k＞0)，則|MN|＝5k．由3k＋4k＋5k＝48得k＝4， 　　∴|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20． 　　以MN所在直線為x軸，以MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，則2a＝|PM|－|PN|＝4， 　　∴a＝2．而c＝10， 　　∴b2＝c2－a2＝100－4＝96． 　　故所求雙曲線方程為＝1．

提示：

利用雙曲線的定義確定點的軌跡方程時，要注意定義中的條件|F1F2|＞2a，若條件中，不能確定|F1F2|與2a的大小，需分類討論．