Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）若在處取得極值，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）函數(shù)定義域為，．

由，得．             

當時，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取得極大值，符合題意。   

（Ⅱ）設(shè)，則當時，恒成立．

由，得．            

．方程有一負根和一正根，．其中不在函數(shù)定義域內(nèi)．

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．即在定義域上的最小值為．                

依題意只需，即．又，所以，，. 所以，

即.               

令，則

當時，，所以是增函數(shù)。由，所以的解集為，即，所以．即的取值范圍是．

解法二：，即

設(shè)，則，

設(shè)，則，

當時，，是減函數(shù)

，即是減函數(shù)，         

當時，先證，

設(shè)，，

在上是增函數(shù)且，，即，

當時，

由，的最大值為2，即的取值范圍是．     

考點：函數(shù)的極值；解不等式

點評：求較復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì)，常用到導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)對求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值、不等式等問題都有很大作用。