Question

（2011•揭陽(yáng)一模）已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-x+2．（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若對(duì)?x∈R，有f′(x)≥|x|-

4

3

成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-x²-x+2，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)f'（x）=3x²-2ax-1，對(duì)?x∈R，f′(x)≥|x|-

4

3

成立，可轉(zhuǎn)化為3x2-2ax-1≥|x|-

4

3

對(duì)?x∈R成立，分類討論，利用分離參數(shù)法，可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-x²-x+2，求導(dǎo)函數(shù)可得f'（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），（2分）
令f'（x）=0，解得x1=-

1

3

，x2=1．
當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，得x＞1或x＜-

1

3

；當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，得-

1

3

＜x＜1．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大	單調(diào)遞減	極小	單調(diào)遞增

（4分）
∴當(dāng)x=-

1

3

時(shí)，函數(shù)f（x）有極大值，f(x)極大=f(-

1

3

)=2

5

27

，（5分）
當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)f（x）有極小值，f（x）_極小=f（1）=（16分）
（2）∵f'（x）=3x²-2ax-1，∴對(duì)?x∈R，f′(x)≥|x|-

4

3

成立，
即3x2-2ax-1≥|x|-

4

3

對(duì)?x∈R成立，（7分）
①當(dāng)x＞0時(shí)，有3x2-(2a+1)x+

1

3

≥0，即2a+1≤3x+

1

3x

，對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立，（9分）
∵3x+

1

3x

≥2

3x• 1 3x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

3

時(shí)等號(hào)成立，∴2a+1≤2⇒a≤

1

2

（11分）
②當(dāng)x＜0時(shí)，有3x2+(1-2a)x+

1

3

≥0，即1-2a≤3|x|+

1

3|x|

，對(duì)?x∈（-∞，0）恒成立，
∵3|x|+

1

3|x|

≥2

3|x|• 1 3|x|

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=-

1

3

時(shí)等號(hào)成立，
∴1-2a≤2⇒a≥-

1

2

（13分）
③當(dāng)x=0時(shí)，a∈R
綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-

1

2

，

1

2

]．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是分類討論、分離參數(shù)．