Question

給定四條曲線：①x2+y2=

5

2

，②

x2

9

+

y2

4

=1，③x2+

y2

4

=1，④

x2

4

+y2=1，其中與直線x+y-

5

=0僅有一個(gè)交點(diǎn)的曲線是（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

分析：判斷直線和圓的位置關(guān)系時(shí)，只要比較圓心到這條直線的距離d與半徑r的大小即可．當(dāng)d＜r時(shí)，直線和圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)d=r時(shí)，直線和圓相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)d＞r時(shí)，直線和圓想離，無交點(diǎn)；判斷直線和橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，整理，由△的符號(hào)即可判斷出其交點(diǎn)個(gè)數(shù)．當(dāng)△＞0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△=0時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△＜0時(shí)，無交點(diǎn)，據(jù)此計(jì)算可得答案．

解答：解：①中，圓心（0，0）到直線x+y-

5

=0的距離為

5

2

等于半徑，故滿足題意．
②中，聯(lián)立方程

x2 9 + y2 4 =1 x+y- 5 =0

，整理得，13x2-18

5

x+9=0．△≠0，故不滿足題意．
③中，聯(lián)立方程

x2+ y2 4 =1 x+y- 5 =0

．整理得，5x2-2

5

x+1=0．△=0，故滿足題意．
④中，聯(lián)立方程

x2 4 +y2=1 x+y- 5 =0

，整理得，5x2-8

5

x+16=0，△=0．故滿足題意．
故本題中①③④滿足，答案為D．

點(diǎn)評(píng)：在判定直線和圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可聯(lián)立方程組，由方程組的解的個(gè)數(shù)從而確定交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．對(duì)于判斷圓和直線的位置關(guān)系時(shí)，除此之外，還可以用更為簡(jiǎn)單的幾何方法，用圓心到直線的距離與半徑作比較．