已知函數(shù)().
(1)若函數(shù)在處取得極大值,求的值;
(2)時,函數(shù)圖象上的點都在所表示的區(qū)域內(nèi),求的取值范圍;
(3)證明:,.
(1) ;(2) .
(3)數(shù)學(xué)歸納法可知,,。
【解析】
試題分析:(1),由 經(jīng)檢驗符合題意 (3分)
(2)依題意知,不等式在恒成立.令,
當(dāng)k≤0時,取x=1,有,故k≤0不合.(4分)
當(dāng)k>0時, g′(x)=-2kx=.
令g′(x)=0,得x1=0,x2=>-1. (5分)
①當(dāng)k≥時,≤0,g′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,因此g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,從而對任意的x∈[0,+∞),總有g(shù)(x)≤g(0)=0,故k≥符合題意,6分②當(dāng)0<k<時,>0, 對于x∈,g′(x)>0,
故g(x)在內(nèi)單調(diào)遞增,因此當(dāng)取x0∈時,g(x0)>g(0)=0,不合.
綜上,. (8分)
(3)證明:當(dāng)n=1時,不等式左邊=2-ln3<2=右邊,所以不等式成立.(9分)
當(dāng)n≥2時,在(2)中取k=,得 (10分)
取代入上式得: (12分)
≤2-ln3+
-ln(2n+1)≤2-ln3+1-<2.
綜上,, (14分)
考點:本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值,數(shù)學(xué)歸納法證明不等式。
點評:難題,本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的常見問題,(2)是恒成立問題,注意通過構(gòu)造函數(shù),研究函數(shù)的最值達(dá)到解題目的。(3)利用數(shù)學(xué)歸納法。涉及對數(shù)函數(shù),要特別注意函數(shù)的定義域。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
|
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x |
1 |
n2(n+1)2 |
1 |
4n |
3 |
4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x2+1 |
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