Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂和動(dòng)點(diǎn)P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂坐標(biāo)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足

|   PF1 |

|   PF2 |

=

2

2

，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，曲線C關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)曲線為曲線C″，直線y=x+m-3與曲線C″交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABO的面積為

7

，
（1）求曲線C的方程；
（2）求m的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到曲線C的方程；
（2）根據(jù)關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特點(diǎn)，把圓心（-3，0）關(guān)于y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)找到，半徑不變，即可得到曲線C″的方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心到直線的距離即為三角形的高，根據(jù)勾股定理求出直線與圓相交所截取的弦長(zhǎng)為三角形的底，根據(jù)三角形的面積公式列出方程求出m即可．

解答：解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

2

，化簡(jiǎn)得（x+3）²+y²=8，
所以曲線C的方程為（x+3）²+y²=8；
（2）曲線C是以（-3，0）為圓心，2

2

為半徑的圓，曲線C″也應(yīng)該是一個(gè)半徑為2

2

的圓，點(diǎn)（-3，0）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3），所以曲線C″的方程為x²+（y+3）²=8，
原點(diǎn)（0，0）到直線y=x+m-3的距離d=

|m-3|

2

，
S_△ABO=

1

2

×d×|AB|=

1

2

×d×2

8-d2

=

[8- (m-3)2 2 ]× (m-3)2 2

=

7

，
∴

(m-3)2

2

=1或7，所以m=3±

2

或m=3±

14

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的特點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡方程，會(huì)根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，會(huì)求曲線關(guān)于y=x的對(duì)稱(chēng)曲線．