Question

設(shè)M=10a²+81a+207，P=a+2，Q=26-2a；若將lgM，lgQ，lgP適當(dāng)排序后可構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)．
（1）試比較M、P、Q的大��；
（2）求a的值及{a_n}的通項(xiàng)；
（3）記函數(shù)f（x）=a_nx²+2a_n+1x+a_n+2（n∈N*）的圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為b_n，設(shè)T_n=

1

4

(b1b2+b2b3+…+bn-1bn）（n≥2），求T_n，并證明T₂T₃T₄…T_n＞

2n-1

n

．

Answer 1

分析：（1）由M＞0，P＞0，Q＞0可求得a的范圍，作差后通過分類討論可比較它們間的大小關(guān)系；
（2）由（1）的結(jié)論及l(fā)gM，lgQ，lgP成公差為1的等差數(shù)列可得a值，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n；
（3）設(shè)f（x）與x軸交點(diǎn)為（x₁，0），（x₂，0），由2a_n+1=a_n+a_n+2，知-1為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）=（x+1）（a_nx+a_n+2）=0，可得x₁，x₂，進(jìn)而可得b_n，利用裂項(xiàng)相消法可得T_n，由Tn=

n-1

(1-2lg2)(n-2lg2)

＞

n-1

1 2 n

=

2(n-1)

n

，可對(duì)T₂T₃T₄…T_n進(jìn)行放縮得到結(jié)論；

解答：解：（1）由

M=10a2+81a+207＞0 P=a+2＞0 Q=26-2a＞0

，得-2＜a＜13，
∵M(jìn)-Q=10a²+83a+181＞0（∵△₁＜0），M-P=10a²+80a+205＞0（∵△₂＜0），∴M＞Q，M＞P，
又∵當(dāng)-2＜a＜13時(shí)，P-Q=-24+3a，
則當(dāng)-2＜a＜8時(shí)，P＜Q，此時(shí)P＜Q＜M，
當(dāng)a=8時(shí)，P=Q，此時(shí)P=Q＜M，
當(dāng)8＜a＜13時(shí)，P＞Q，此時(shí)Q＜P＜M；
（2）由（1）知，當(dāng)-2＜a＜8時(shí)，

lgP+1=lgQ lgM=1+lgQ

即

10P=Q M=10Q

，∴

26-2a=10(a+2) 10a2+81a+207=10(26-2a)

，
解得a=

1

2

，從而a_n=lgP+（n-1）×1=n-2lg2；
當(dāng)8＜a＜13時(shí)，

lgQ+1=lgP lgM=1+lgP

即

P=10Q M=10P

，∴

a+2=10(26-2a) 10a2+81a+207=10(a+2)

，a無解．
綜上，a=

1

2

，a_n=n-2lg2；
（3）設(shè)f（x）與x軸交點(diǎn)為（x₁，0），（x₂，0），
∵2a_n+1=a_n+a_n+2，∴-1為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，
∴當(dāng)f（x）=0時(shí)有（x+1）（a_nx+a_n+2）=0，∴x1=-1， x2=-

an+2

an

=-

an+2

an

，
∴bn=|x1-x2|=|-1+

an+2

an

|=

2

|an|

，
又∵a_n=n-2lg2＞0，∴bn=

2

an

，
∴bn-1bn=

2

an-1

×

2

an

=4(

1

an-1

-

1

an

)，
∴Tn=

1

4

×4[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an-1

-

1

an

)]=

1

a1

-

1

an

=

1

1-2lg2

-

1

n-2lg2

=

n-1

(1-2lg2)(n-2lg2)

，
又Tn=

n-1

(1-2lg2)(n-2lg2)

＞

n-1

1 2 n

=

2(n-1)

n

，
∴T2T3T4…Tn＞

2

2

•

2•2

3

•

2•3

4

•

2•4

5

…

2(n-1)

n

=

2n-1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查不等式的證明，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大．