Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是正三角形，且∠PCA=∠PCB．
（Ⅰ）求證：PC⊥AB；
（Ⅱ）設(shè)正△ABC的中心為O，△PAB的重心為G，求證：OG∥平面PAC．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因?yàn)锳C=BC，且∠PCA=∠PCB，PC=PC所以△PAC≌△PBC，所以AC=BC，PA=PB則有CD⊥AB，PD⊥AB，CD，PD?平面PCD
所以AB⊥平面PCD則可得PC⊥AB．
（2）由題意得O是正△ABC的中心，G是△PAB的重心所以所以O(shè)G∥PC可得OG∥平面PAC．
解答：證明：（Ⅰ）在△PAC與△PBC中，
∵AC=BC，
∴∠PCA=∠PCB，PC=PC
∴△PAC≌△PBC，
∴PA=PB，
設(shè)AB中點(diǎn)位D，連接CD，PD．
∵AC=BC，PA=PB，
∴CD⊥AB，PD⊥AB，CD，PD?平面PCD，
∴AB⊥平面PCD
∴PC⊥AB
（Ⅱ）∵O是正△ABC的中心，G是△PAB的重心，
∴點(diǎn)O，G分別在直線PD，CD上，且
∴OG∥PC
因?yàn)镺G?平面PAC，PC?平面PAC，
所以O(shè)G∥平面PAC
點(diǎn)評(píng)：證明線面垂直時(shí)是以相似為橋梁證明線段相等，再利用已知直線與面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可證明，證明線面平行時(shí)重心的比例關(guān)系是難點(diǎn)，根據(jù)這個(gè)關(guān)系得到線線平行進(jìn)而得到線面平行．（題中考查的也是學(xué)生常忽略的地方）