Question

如圖，已知直線

l

1

：y=2x+m(m＜0)與拋物線C1：y=ax2(a＞0)和圓C2：x2+(y+1)2=5都相切，F(xiàn)是C₁的焦點(diǎn)．
（1）求m與a的值；
（2）設(shè)A是C₁上的一動點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作拋物線C₁的切線l，直線l交y軸于點(diǎn)B，以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，證明：點(diǎn)M在一條定直線上．

Answer 1

分析：（1）利用直線與圓相切，可得圓心到直線l₁：y=2x+m的距離等于半徑，從而可求m的值；設(shè)l₁與拋物線的相切點(diǎn)為A₀（x₀，y₀），求得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得a的值；
（2）設(shè)A(x1，

1

6

x12)，由（1）知以A為切線l的方程為y=

1

3

x1(x-x1)+

1

6

x12，從而可得切線l交y軸的B點(diǎn)坐標(biāo)，利用四邊形FAMB是以FA，F(xiàn)B為鄰邊的平行四邊形，可得

FM

=

FA

+

FB

，由此可證結(jié)論．

解答：（1）解：由已知，圓C2：x2+(y+1)2=5的圓心（0，-1），
圓心到直線l₁：y=2x+m的距離d=

|1+m|

22+1

=

5

，解得m=-6（m=4舍去），…（3分）
設(shè)l₁與拋物線的相切點(diǎn)為A₀（x₀，y₀），得2ax₀=2，∴x0=

1

a

，y0=

1

a

，
代入直線方程得：

1

a

=

2

a

-6，∴a=

1

6

，
所以m=-6，a=

1

6

…（6分）
（2）證明：由（1）知拋物線C₁方程為y=

1

6

x2，焦點(diǎn)F(0，

3

2

)，
設(shè)A(x1，

1

6

x12)，由（1）知以A為切線l的方程為y=

1

3

x1(x-x1)+

1

6

x12，…（8分）
令x=0，得切線l交y軸的B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

1

6

x12），
所以

FA

=（x₁，

1

6

x

2 1

-

3

2

），

FB

=（0，-

1

6

x

2 1

-

3

2

），…（10分）
∵四邊形FAMB是以FA，F(xiàn)B為鄰邊的平行四邊形，
∴

FM

=

FA

+

FB

=（x₁，-3）…（13分）
因?yàn)镕是定點(diǎn)F(0，

3

2

)，所以點(diǎn)M在定直線y=-

3

2

上．     …（15分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定切線方程，屬于中檔題．