Question

若x²+y²≤1，求證：①|x+y|≤

2

；②|x2+2xy-y2|≤

2

．

Answer 1

分析：由x²+y²≤1，可設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ（|r|≤1，0≤θ≤2π）．
①利用兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的最值即可得出|x+y|=

2

|r||sin(θ+

π

4

)|≤

2

成立．
②利用兩角和的正弦公式、倍角公式和正弦函數(shù)的最值即可得出|x²+2xy-y²|=r²|cos2θ+sin2θ|=

2

r2|sin(2θ+

π

4

)|≤

2

成立．

解答：證明：由x²+y²≤1，可設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ（|r|≤1，0≤θ≤2π）．
①|(zhì)x+y|=|rcosθ+rsinθ|=

2

|r||sin(θ+

π

4

)|≤

2

．
∴|x+y|≤

2

成立．
②|x²+2xy-y²|=|r²cos²θ+2r²sinθcosθ-r²cos²θ|=r²|cos2θ+sin2θ|=

2

r2|sin(2θ+

π

4

)|≤

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)代換、兩角和的正弦公式、倍角公式和正弦函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．