Question

偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]時(shí)，f（x）=1-x，則關(guān)于x的方程，在x∈[0，3]上解的個(gè)數(shù)是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：首先有已知條件推導(dǎo)函數(shù)f（x）的性質(zhì)，再利用函數(shù)與方程思想把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，即可得解．
解答：∵f（1-x）=f（x+1）
∴原函數(shù)的對(duì)稱軸是x=1，且f（-x）=f（x+2）
又∵f（x）是偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=f（x+2），
∴原函數(shù)的周期T=2．
又∵x∈[0，1]時(shí)，f（x）=-x+1．
設(shè)y₁=f（x），y₂=，
則關(guān)于x的方程，在x∈[0，3]上解的個(gè)數(shù)是即為函數(shù) y₁=f（x）
和 y₂=交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
由以上條件，可畫出 y₁=f（x），y₂=的圖象，當(dāng)x=時(shí)，y₁＞y₂，當(dāng)x=1時(shí)，y₁＜y₂，
故在（，1）上有一個(gè)交點(diǎn)．
結(jié)合圖象可得在[0，3]上y₁=f（x），y₂=共有4個(gè)交點(diǎn)，
∴在[0，3]上，原方程有4個(gè)根，
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考察函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性，體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬較難題．