Question

二次函數(shù)f（x）的圖象頂點(diǎn)為A（1，16），且圖象在x軸上截得線段長為8．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2-2a）x-f（x）；
①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②求函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

（1）由條件設(shè)二次函數(shù)f（x）=a（x-1）²+16=ax²-2ax+a+16，
設(shè)f（x）=0的兩根為：x₁，x₂，令x₁＜x₂，
∵圖象在x軸上截得線段長為8，由韋達(dá)定理得：
（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₂x₁=（-2）²-4×a+16 a=64
解得a=-1，
∴函數(shù)的解析式為f（x）=-x²+2x+15．
（2）①∵f（x）=-x²+2x+15，
∴g（x）=（2-2a）x-f（x）=x²-2ax-15，
而g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴對(duì)稱軸x=a在[0，2]的左側(cè)，
∴a≤0．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤0}．
②g（x）=x²-2ax-15，x∈[0，2]，
對(duì)稱軸x=a，
當(dāng)a＞2時(shí)，g（x）_min=g（2）=4-4a-15=-4a-15，
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）_min=g（0）=-15，
當(dāng)0≤a≤2時(shí)，g（x）_min=g（a）=a²-2a²-15=-a²-15．