Question

在邊長為2的正方體ABCD-A'B'C'D'中，E是BC的中點，F(xiàn)是DD'的中點
（1）求證：CF∥平面A'DE
（2）求二面角E-A'D-A的平面角的余弦值．

Answer 1

證明（1）：分別以DA，DC，DD'為x軸，y軸，z軸
建立空間直角坐標系，
則A'（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（0，0，1），
則，
設平面A'DE的法向量是，
則，取，

，∵，∴，
所以，CF∥平面A'DE．
解：（2）由正方體的幾何特征可得
是面AA'D的法向量
又由（1）中向量為平面A'DE的法向量
故二面角E-A'D-A的平面角θ滿足；

即二面角E-A'D-A的平面角的余弦值為

分析：（1）分別以DA，DC，DD'為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，求出各頂點坐標后，進而求出直線CF的方向向量和平面A'DE的法向量，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，得到兩個向量垂直后，進而得到CF∥平面A'DE
（2）結合正方體的幾何特征，可得是面AA'D的法向量，結合（1）中平面A'DE的法向量為，代入向量夾角公式，即可求出二面角E-A'D-A的平面角的余弦值．
點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，向量語言表述線面的平行關系，其中建立適當?shù)目臻g直角坐標系，將空間線面關系及面面夾角轉化為向量夾角問題，是解答本題的關鍵．