Question

已知f（x）=3^x，f（a+2）=27，函數(shù)g（x）=λ•2^ax-4^x的定義域?yàn)閇0，2]
（1）求a的值
（2）若函數(shù)g（x）的最大值是，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

解：（1）依題f（a+2）=3^a+2=27，
解之得a+2=3，得a=1 _{--------------------------------------------}
（2）令2^x=t，由0≤x≤2，可得t∈[1，4]_{-------------------------}
g（x）=h（t）=-t²+λt=-（t-）²+．t∈[1，4]
①當(dāng)＜1即λ＜2時(shí)，[h（t）]_max=h（1）=λ-1=，
解得，符合條件_{-------------------------}
②當(dāng)1≤＜4，即2≤λ＜8時(shí)，[h（t）]_max=h（）==
解之得λ=∉[2，8），不符合題意，舍去_----
③當(dāng)≥4，即λ≥8時(shí)，[h（t）]_max=h（4）=4λ-16=
解之得λ=＜8，不符合題意，舍去_{------------------}
綜上所述，函數(shù)g（x）的最大值是時(shí)，實(shí)數(shù)λ的值．_{---------------------------}
分析：（1）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合題意得3^a+2=27，利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得實(shí)數(shù)a的值；
（2）令2^x=t，可得g（x）=h（t）=-（t-）²+，其中t∈[1，4]．再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，分別建立關(guān)于λ的方程，解之并加以檢驗(yàn)，最后綜合可得函數(shù)g（x）的最大值是時(shí)，實(shí)數(shù)λ的值．
點(diǎn)評(píng)：本題給出指數(shù)函數(shù)，求特殊函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量并依此求“類二次函數(shù)”的最值問題．著重考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論等知識(shí)，屬于中檔題．