Question

若x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）=ax³+bx²﹣a²x（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（1）若，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若，求b的最大值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax³+bx²﹣a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx﹣a²（a＞0）
依題意有和1是方程3ax²+2bx﹣a²=0的兩根
∴解得 ，
∴f（x）=x³﹣x²﹣x．（經(jīng)檢驗(yàn)，適合）．
（2）∵f′（x）=3ax²+2bx﹣a²（a＞0）依題意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個(gè)根，
∴x₁x₂=﹣＜0且 ，
∴，
∴b²=3a²（9﹣a）
∵b²≥0
∴0＜a≤9．
設(shè)p（a）=3a²（9﹣a），則p'（a）=54a﹣9a²．
由p′（a）＞0得0＜a＜6，由p′（a）＜0得a＞6．
即函數(shù)p（a）在區(qū)間（0，6]上是增函數(shù)，在區(qū)間[6，9]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)a=6時(shí)，p（a）有極大值為324，
∴p（a）在（0，9]上的最大值是324，
∴b的最大值為18．