Question

已知函數(shù)f(x)=

bx+c

x+1

的圖象過原點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)（-1，1）成中心對(duì)稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列a_n（n∈N*）滿足：an＞0，a1=1，an+1=[f(

an

)]2，求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

bx+c

x+1

的圖象過原點(diǎn)，即f（0）=0，可以解出c=0，再有對(duì)稱性可以求出b值，即得函數(shù)的解析式．
（2）由（1）的結(jié)論，可以得到f(x)=

x

x+1

，故可得

an+1

=

an

an +1

，即

1

an+1

=

1

an

+1，所以

1

an+1

-

1

an

=1由此可以得到 數(shù)列{

1

an

}的性質(zhì)的，可求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

bx+c

x+1

的圖象過原點(diǎn)，即f（0）=0，所以c=0，即f(x)=

bx

x+1

．
又函數(shù)f(x)=

bx

x+1

=b-

b

x+1

的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）成中心對(duì)稱，所以b=1，
∴f(x)=

x

x+1

．

（2）∵an+1=[f(

an

)]2，由（1）的結(jié)論開方得：

an+1

=

an

an +1

，
變形得

1

an+1

=

1

an

+1，所以

1

an+1

-

1

an

=1．
∴數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
∴

1

an

=1+（n-1）=n，即

an

=

1

n

，
∴a_n=

1

n2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是奇偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，考查利用函數(shù)的對(duì)稱性求求解析式，在第二問中用到了間接法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，變形技巧值在學(xué)習(xí)中借鑒．