Question

18．我們國(guó)家正處于老齡化社會(huì)中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有戶籍人口400萬(wàn)，其中老人（年齡60歲及以上）人數(shù)約有66萬(wàn)，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機(jī)抽取600人并委托醫(yī)療機(jī)構(gòu)免費(fèi)為他們進(jìn)行健康評(píng)估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個(gè)等級(jí)，并以80歲為界限分成兩個(gè)群體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本分布被制作成如圖表：

（Ⅰ）若采用分層抽樣的方法再?gòu)臉颖局械牟荒茏岳淼睦先酥谐槿?人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，則兩個(gè)群體中各應(yīng)抽取多少人？
（Ⅱ）估算該市80歲及以上長(zhǎng)者占全市戶籍人口的百分比；
（Ⅲ）據(jù)統(tǒng)計(jì)該市大約有五分之一的戶籍老人無(wú)固定收入，政府計(jì)劃為這部分老人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼，標(biāo)準(zhǔn)如下：
①80歲及以上長(zhǎng)者每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼200元；
②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼120元；
③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補(bǔ)貼100元．試估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算．

Answer 1

分析 （Ⅰ）從圖表中求出不能自理的80歲及以上長(zhǎng)者占比，由此能求出用分層抽樣的方法再?gòu)臉颖局械牟荒茏岳淼睦先酥谐槿?人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，兩個(gè)群體中各應(yīng)抽取多少人．
（Ⅱ）求出在600人中80歲及以上長(zhǎng)者在老人中占比，用樣本估計(jì)總體，能求出80歲及以上長(zhǎng)者占戶籍人口的百分比．
（Ⅲ）用樣本估計(jì)總體，設(shè)任一戶籍老人每月享受的生活補(bǔ)助為X元，則X的可能取值為0，120，200，220，300，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列、EX，從而能估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算．

解答 解：（Ⅰ）數(shù)據(jù)整理如下表：

健康狀況	健康	基本健康	不健康尚能自理	不能自理
80歲及以上	20	45	20	15
80歲以下	200	225	50	25

從圖表中知采用分層抽樣的方法再?gòu)臉颖局械牟荒茏岳淼睦先酥谐槿?人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，
80歲及以上應(yīng)抽取：8×$\frac{15}{15+25}$=3人，
80歲以上應(yīng)抽�。�8×$\frac{25}{15+25}$=5人．
（Ⅱ）在600人中80歲及以上長(zhǎng)者在老人中占比為：
$\frac{15+20+45+20}{600}=\frac{1}{6}$，
用樣本估計(jì)總體，80歲及以上長(zhǎng)者為：66×$\frac{1}{6}$=11萬(wàn)，
用樣本估計(jì)總體，80歲及以上長(zhǎng)者占戶籍人口的百分比為$\frac{11}{400}×100%$=2.75%．
（Ⅲ）用樣本估計(jì)總體，設(shè)任一戶籍老人每月享受的生活補(bǔ)助為X元，
P（X=0）=$\frac{4}{5}$，
P（X=120）=$\frac{1}{5}×\frac{475}{600}$=$\frac{95}{600}$，
P（X=200）=$\frac{1}{5}×\frac{85}{600}$=$\frac{17}{600}$，
P（X=220）=$\frac{1}{5}×\frac{25}{600}$=$\frac{5}{600}$，
P（X=300）=$\frac{1}{5}×\frac{15}{600}$=$\frac{3}{600}$，
則隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	120	200	220	300
P	$\frac{4}{5}$	$\frac{95}{120}$	$\frac{17}{600}$	$\frac{5}{600}$	$\frac{3}{600}$

EX=$\frac{0+120×95+200×17+220×5+300×3}{600}$=28，
全市老人的總預(yù)算為28×12×66×10⁴=2.2176×10⁸元．
政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算約為2.2176億元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分表圖、分層抽樣的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及應(yīng)用，是中檔題，歷年高考中都是必考題型之一．