Question

在袋中裝有15個(gè)小球，其中有n個(gè)紅球，6個(gè)藍(lán)球，5個(gè)黃球，其余的為白球．已知從袋中取出3個(gè)都是相同顏色的彩色球（無白球）的概率為

31

455

．求：
（1）袋中有多少個(gè)紅球；
（2）從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，若取得黃球得1分，取得藍(lán)球扣1分，取得紅球或白球不得分也不扣分，求得正分的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)可得

C 3 n + C 3 6 + C 3 5

C 3 15

=

31

455

，即

C

3 n

=1，由此求得n的值．
（Ⅱ）設(shè)取球得正分為事件A，則A包含有三種情況：①取球得正1分，記為事件A₁；②取球得正2分，記為事件A₂；③取球得正3分，記為事件A₃．
分別求得P（A₁）、P（A₂）、P（A₃）的值，相加即得所求．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)可得

C 3 n + C 3 6 + C 3 5

C 3 15

=

31

455

．…3′
即

C

3 n

=1，∴n=3，故袋中有3個(gè)紅球．…6′
（Ⅱ）設(shè)取球得正分為事件A，則A包含有三種情況：①取球得正1分，記為事件A₁；②取球得正2分，記為事件A₂；③取球得正3分，記為事件A₃．…8′
則P（A）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）．
而P(A1)=

C 1 5 • C 2 4 + C 2 5 • C 1 6

C 3 15

=

18

91

； P(A2)=

C 2 5 • C 1 4

C 3 15

=

8

91

； P(A3)=

C 3 5

C 3 15

=

2

91

．
故P(A)=

18

91

+

8

91

+

2

91

=

28

91

．…12′．

點(diǎn)評：本題主要考查互斥事件的概率加法公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．