Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1+a_n=3•2ⁿ，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{a_n-2ⁿ}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在數(shù)列{a_n}中，是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，請說明理由；
（3）若1＜r＜s且r，s∈N^*，求證：使得a₁，a_r，a_s成等差數(shù)列的點列（r，s）在某一直線上．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將條件變形，構造符合條件的數(shù)列，即可證明數(shù)列{a_n-2ⁿ}是等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）假設在數(shù)列{a_n}中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列，代入相應的項，化簡可得結論；
（3）若a₁，a_r，a_s成等差數(shù)列，則2a_r=a₁+a_s，代入變形整理，對r、s進行討論，可得結論．

解答： （1）證明：將已知條件an+1+an=3•2n變形為an+1-2n+1=-(an-2n)…（1分）
由于a₁-2=3-2=1≠0，則

an+1-2n+1

an-2n

=-1（常數(shù)）…（3分）
即數(shù)列{an-2n}是以1為首項，公比為-1的等比數(shù)列…（4分）
所以an-2n=1•(-1)n-1=（-1）^n-1，即an=2n+（-1）^n-1（n∈N^*）．…（5分）
（2）解：假設在數(shù)列{a_n}中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列，不妨設連續(xù)的三項依次為a_k-1，a_k，a_k+1（k≥2，k∈N^*），由題意得，2a_k=a_k-1+a_k+1，
將ak=2k+(-1)k-1，ak-1=2k-1+(-1)k-2，ak+1=2k+1+(-1)k代入上式得…（7分）
2[2^k+（-1）^k-1]=[2^k-1+（-1）^k-2]+[2^k+1+（-1）^k]…（8分）
化簡得，-2^k-1=4•（-1）^k-2，即2^k-1=4•（-1）^k-1，得（-2）^k-1=4，解得k=3，
所以，存在滿足條件的連續(xù)三項為a₂，a₃，a₄成等比數(shù)列．…（10分）
（3）證明：若a₁，a_r，a_s成等差數(shù)列，則2a_r=a₁+a_s，
即2[2^r+（-1）^r-1]=3+2^s+（-1）^s-1，變形得2^s-2^r+1=2•（-1）^r-1-（-1）^s-1-3…（11分）
由于若r，s∈N^*且1＜r＜s，下面對r、s進行討論：
①若r，s均為偶數(shù)，則2^s-2^r+1＜0，解得s＜r+1，與1＜r＜s矛盾，舍去；
②若r為奇數(shù)，s為偶數(shù)，則2^s-2^r+1=0，解得s=r+1；
③若r為偶數(shù)，s為奇數(shù)，則2^s-2^r+1＜0，解得s＜r+1，與1＜r＜s矛盾，舍去；
④若r，s均為奇數(shù)，則2^s-2^r+1＜0，解得s＜r+1，與1＜r＜s矛盾，舍去；…（15分）
綜上①②③④可知，只有當r為奇數(shù)，s為偶數(shù)時，a₁，a_r，a_s成等差數(shù)列，
此時滿足條件點列（r，s）落在直線y=x+1（其中

2

∈(1， 2]為正奇數(shù)）上．…（16分）（不寫出直線方程扣1分）

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，有難度．