Question

已知x=0是函數(shù)f（x）=（x²+bx）e^x的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求f（x）；
（2）若不等式f（x）＞ax³在[，2]內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）函數(shù)y=f（x）在x=a_n（a_n＞0，n∈N^*）處的切線與x軸的交點(diǎn)為（a_n-a_n+1，0）．若a₁=1，b_n=

1

an

+2，問(wèn)是否存在等差數(shù)列{c_n}，使得b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+n²+2n+2對(duì)n∈N^*都成立？若存在求出{c_n}的通項(xiàng)公式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=[x²+（6+2）x+b]e^x和的性質(zhì)知極值點(diǎn)，f′（x）=0，得b=0，由此能求出f（x）；
（2）由x²e^x＞ax³在[，2]內(nèi)有解，知a＜

ex

x

在[，2]內(nèi)有解，令g（x）=

ex

x

，x∈[

1

2

，2]，則只要a＜（g（x））_max．再由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出a的范圍．
（3）由題設(shè)知函數(shù)y=f（x）在x=a_n處的切線方程為y-

a

2 n

ean=(

a

2 n

+2an)ean(x-an)，由切線與x軸的交點(diǎn)為（a_n-a_n+1，0），所以a_n=a_na_n+1+2a_n+1．由此得b_n+1=2b_n-1，b_n=2ⁿ+1，由此能夠?qū)С龃嬖诘炔顢?shù)列{c_n}對(duì)n∈N^*都有b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+n²+2n+2．

解答：解：（1）∵f′（x）=[x²+（6+2）x+b]e^x，
又x=0是函數(shù)f（x）=（x²+bx）e^x的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（x）=0，得b=0，故f（x）=x²e^x（2分）
（2）∵不等式f（x）＞ax³在[，2]內(nèi)有解，即x²e^x＞ax³在[，2]內(nèi)有解，
∴a＜

ex

x

在[，2]內(nèi)有解，令g（x）=

ex

x

，x∈[

1

2

，2]，
則只要a＜（g（x））_max．（3分）
∵g′（x）=

xex-e2

x2

=

ex(x-1)

x2

，
∴g（1）=e是該函數(shù)的最小值；
∵g（

1

2

）=2

e

，g（2）=

1

2

ex，g（2）＞g（

1

2

），
∴a的取值范圍為（-∞，

1

2

e2）（5分）
（3）∵f（x）=x²e^x，f′（x）=（x²+2x）e^x
∴函數(shù)y=f（x）在x=a_n處的切線方程為y-

a

2 n

ean=(

a

2 n

+2an)ean(x-an)
∵切線與x軸的交點(diǎn)為（a_n-a_n+1，0），
∴0-

a

2 n

ean=(

a

2 n

+2an)ean[(an-an+1)-an]
化簡(jiǎn)得a_n=a_na_n+1+2a_n+1．（7分）
∵a₁=1，b_n=

1

an

+2，∴b₁=3，

1

an

=b_n-2
∴b_n+1-2=1+2b_n，整理得b_n+1=2b_n-1，
即b_n+1-1=2（b_n-1），∴{b_n-1}是公比為2，首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，
∴b_n-1=（b₁-1）2^n-1，即b_n=2ⁿ+1．（9分）
假設(shè)存在等差數(shù)列{c_n}對(duì)n∈N^*都有b₁c₁+b₂c₂++b_nc_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+n²+2n+2①
當(dāng)n≥2時(shí)有b₁c₁+b₂c₂++b_n-1c_n-1=2ⁿ（2n-3）+n²+1②
①-②得b_nc_n=2ⁿ（2n+1）+2n+1，即（2ⁿ+1）c_n=2ⁿ（2n+1）+2n+1，
∴當(dāng)n≥時(shí)有，c_n=2n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁c₁=9，而b₁=3，∴c₁=3也適合c_n=2n+1．
故{c_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
即存在等差數(shù)列{c_n}對(duì)n∈N^*都有
b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+n²+2n+2．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用．