Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且2

Sn

=a_n十1，n∈N^*
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，
（2）設(shè)b_n=

1

anan+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為B_n，求證：B_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得4Sn=an2+2an+1，從而a₁=1，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，進(jìn)而{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂項(xiàng)求和法能證明B_n＜

1

2

．

解答： （1）解：∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且2

Sn

=a_n十1，n∈N^*，
∴4Sn=an2+2an+1，
∴n=1時(shí)，4a₁=a₁²+2a₁+1，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n=4S_n-4S_n-1=an2+2an-an-12-2an-1，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-2=0，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）證明：b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴B_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．