在平行四邊形OABC中,已知過點C的直線與線段OA,OB分別相交于點M,N.若
OM
=x
OA
ON
=y
OB

(1)求證:x與y的關系為y=
x
x+1
;
(2)設f(x)=
x
x+1
,定義函數(shù)F(x)=
1
f(x)
-1(0<x≤1)
,點列Pi(xi,F(xiàn)(xi))(i=1,2,…,n,n≥2)在函數(shù)F(x)的圖象上,且數(shù)列{xn}是以首項為1,公比為
1
2
的等比數(shù)列,O為原點,令
OP
=
OP1
+
OP2
+…+
OPn
,是否存在點Q(1,m),使得
OP
OQ
?若存在,請求出Q點坐標;若不存在,請說明理由.
(3)設函數(shù)G(x)為R上偶函數(shù),當x∈[0,1]時G(x)=f(x),又函數(shù)G(x)圖象關于直線x=1對稱,當方程G(x)=ax+
1
2
在x∈[2k,2k+2](k∈N)上有兩個不同的實數(shù)解時,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)題意,由平行線的性質可得
|
OM
|
|
OA
|
=
|
OM
|
|
OB
|
=
|
ON
|
|
NB
|
,結合題意可得x=
y
1-y
,所以y=
x
1+x

(2)由已知條件得F(x)=
x+1
x
-1=
1
x
,Pi(xi,
1
xi
)
,又xn=(
1
2
)n-1,
1
xn
=2n-1
,
OP
=(1+
1
2
++
1
2n-1
,1+2++2n-1)=(2-
1
2n-1
,2n-1)
.由此可以推出存在Q(1,-
1
2n-1
)
滿足條件.
(3)由題意知G(x)=
x
x+1
(0≤x≤1)
2-x
3-x
(1≤x≤2)
.由G(x+2)=G(x)得G(x)=
x-2k
x-2k+1
x∈[2k,2k+1]
x-2k-2
x-2k-3
x∈[2k+1,2k+2]
.同由此能夠推出實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)根據(jù)題意,由平行線的性質可得
|
OM
|
|
OA
|
=
|
OM
|
|
OB
|
=
|
ON
|
|
NB
|
,
又由
OM
=x
OA
,
ON
=y
OB

則有x=
y
1-y
,從而y=
x
1+x

(2)F(x)=
x+1
x
-1=
1
x
,
Pi(xi,
1
xi
)
,又xn=(
1
2
)n-1,
1
xn
=2n-1
,
OP
=(1+
1
2
++
1
2n-1
,1+2++2n-1)=(2-
1
2n-1
,2n-1)

OP
OQ
,則
OP
OQ
=0

2-
1
2n-1
+m(2n-1)=0
,
n≥2,∴m=-
1
2n-1
,
故存在Q(1,-
1
2n-1
)
滿足條件.
(3)當x∈[0,1]時,G(x)=
x
x+1
,
又由條件得G(2-x)=G(x),
∴G(2+x)=G(-x)=G(x).
當x∈[1,2]時,0≤2-x≤1,∴G(2-x)=
2-x
2-x+1
=
2-x
3-x
,
∵G(2-x)=G(x),
G(x)=
2-x
3-x
,從而G(x)=
x
x+1
(0≤x≤1)
2-x
3-x
(1≤x≤2)

由G(x+2)=G(x)得G(x)=
x-2k
x-2k+1
x∈[2k,2k+1]
x-2k-2
x-2k-3
x∈[2k+1,2k+2]

y1=G(x),y2=ax+
1
2
,在同一直角坐標系中作出兩函數(shù)的圖象,
當函數(shù)y2=ax+
1
2
圖象經(jīng)過點(2k+2,0)時,a=-
1
4(k+1)

由圖象可知,當a∈[-
1
4(k+1)
,0)
時,y1與y2的圖象在x∈[2k,2k+2](k∈N)有兩個不同交點,
因此方程G(x)=ax+
1
2
在x∈[2k,2k+2]上有兩個不同的解.
點評:本題考查數(shù)列的綜合運用,解題時要深入挖掘題設中的隱藏含條件.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平行四邊形OABC中,已知過點C的直線與線段OA,OB分別相交于點M,N.若
OM
=x
OA
,
ON
=y
OB

(1)求證:x與y的關系為y=
x
x+1

(2)設f(x)=
x
x+1
,定義在R上的偶函數(shù)F(x),當x∈[0,1]時F(x)=f(x),且函數(shù)F(x)圖象關于直線x=1對稱,求證:F(x+2)=F(x),并求x∈[2k,2k+1](k∈N)時的解析式;
(3)在(2)的條件下,不等式F(x)<-x+a在x∈[2k,2k+1](k∈N)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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如圖,在平行四邊形OABC中,點O是原點,點A和點C的坐標分別是(3,0)、(1,3),點D是線段AB上的動點.
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(2)當D在線段AB上運動時,求線段CD的中點M的軌跡方程.

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