如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.
試題分析：本題第（1）問，證明直線與平面平行，可利用線面平行的判定定理來證明；對第（2）問，可先建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算二面角，從而計(jì)算出AB，然后由棱錐的體積公式求出三棱錐的體積.
試題解析：（1）證明：設(shè)O為AC與BD交點(diǎn)，連結(jié)OE，則由矩形ABCD知：O為BD的中點(diǎn)，因?yàn)镋是BD的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PB，因?yàn)镺E面AEC，PB面AEC，所以PB∥平面AEC。
（2）以A為原點(diǎn)，直線AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=m，則
是平面AED的一個(gè)法向量，設(shè)是平面AEC的法向量，則
，解得，，所以令，得，所以
=，因?yàn)槎娼堑拇笮∨c其兩個(gè)半平面的兩個(gè)法向量的夾角相等哉互補(bǔ)，所以=，解得，因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以三棱錐E-ACD的高為，所以三棱錐E-ACD的體積為==.
【易錯(cuò)點(diǎn)】對第（1）問，證明線面平行時(shí),容易漏掉條件；對第（2）問，二面角的大小與兩個(gè)法向量夾角相等或互補(bǔ)的關(guān)系，一部分同學(xué)容易得出它們相等；并且計(jì)算法向量可能出現(xiàn)錯(cuò)誤.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥面ABC，AA1=a，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D為AA1中點(diǎn).
（1）求證：CD⊥面ABB1A1；
（2）在側(cè)棱BB1上確定一點(diǎn)E，使得二面角E-A1C1-A的大小為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，已知其中有兩個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1和2 ，那么剩下的一個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離可能是：①1；    ②2；   ③3；   ④4；  

以上結(jié)論正確的為______________。（寫出所有正確結(jié)論的編號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，則AD與平面AA1C1C所成的角的正弦值為(　　)
A．B．－C．D．－

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D為BB1的中點(diǎn)，則異面直線C1D與A1C所成角的余弦值為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號①、②、③、④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（   ）
A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的一組向量是(　　)
A．a(chǎn)，a＋b，a－bB．b，a＋b，a－b
C．c，a＋b，a－bD．a(chǎn)＋b，a－b，a＋2b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，則x、y的值分別為(　　)
A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝D．x＝，y＝1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

到的距離除以到的距離的值為的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足(    )
A．
B．
C．
D．

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同步練習(xí)冊答案