Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)y=f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}}$]時(shí)的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足c=2，a=3，f（B）=0，求邊b的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，由x的范圍可求$2x-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解值域．
（2）由題意可得$sin（2B-\frac{π}{6}）=1$，結(jié)合范圍$2B-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{11π}{6}）$，可求B的值，利用余弦定理即可解得b的值．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-1=sin（2x-\frac{π}{6}）-1$，
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴$2x-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$，
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[{-\frac{1}{2}，1}]$，
∴函數(shù)f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$的值域?yàn)?[{-\frac{3}{2}，0}]$．
（2）∵f（B）=0，即$sin（2B-\frac{π}{6}）=1$，
∵B∈（0，π），
∴$2B-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{11π}{6}）$，
∴$2B-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
∴$B=\frac{π}{3}$，
又∵有c=2，a=3，
在△ABC中，由余弦定理得：${b^2}={c^2}+{a^2}-2accos\frac{π}{3}=4+9-2×2×3×\frac{1}{2}=7$，
∴解得$b=\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．