已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，短軸一個端點到右焦點的距離為
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，以AB弦為直徑的圓過坐標原點O，試探討點O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．
（1）設橢圓的半焦距為c，依題意
c
a
=
6
3
a=
3
∴b=1，…．（2分）
∴所求橢圓方程為
x2
3
+y2=1．…..（4分）
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2）．
①當AB⊥x軸時，設AB方程為：x=m，此時A，B兩點關于x軸對稱，又以|AB|為直徑的圓過原點，
設A（m，m）代入橢圓方程得：m=
3
2
…．（6分）
②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m．聯(lián)立
x2
3
+y2=1
y=kx+m
，
整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，∴x1+x2=
-6km
3k2+1
，x1x2=
3(m2-1)
3k2+1
．…．（8分）
又y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
3k2(m2-1)
1+3k2
+
-6k2m2
1+3k2
+m2=
m2-3k2
1+3k2
．
由以|AB|為直徑的圓過原點，則有
OA
•
OB
=0．…..（10分）
即：x1x2+y1y2=0，故滿足：
3(m2-1)
1+3k2
+
m2-3k2
1+3k2
=0得：4m2=3+3k2，所以m2=
3
4
(k2+1)．
又點O到直線AB的距離為：d=
|m|
1+k2
=
3
2
1+k2
1+k2
=
3
2
．
綜上所述：點O到直線AB的距離為定值
3
2
．…（13分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

若點P到點F（
1
2
，0）的距離與它到直線x+
1
2
=0的距離相等．
（1）求P點軌跡方程C，
（2）A點是曲線C上橫坐標為8且在X軸上方的點，過A點且斜率為1的直線l與C的另一個交點為B，求C與l所圍成的圖形的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知點P為拋物線y2=2x上的動點，則點P到直線y=x+2的距離的最小值為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C1：y=x2，F(xiàn)為拋物線的焦點，橢圓C2：
x2
2
+
y2
a2
=1（0＜a＜2）；
（1）若M是C1與C2在第一象限的交點，且|MF|=
3
4
，求實數(shù)a的值；
（2）設直線l：y=kx+1與拋物線C1交于A，B兩個不同的點，l與橢圓C2交于P，Q兩個不同點，AB中點為R，PQ中點為S，若O在以RS為直徑的圓上，且k2＞
1
2
，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點（1，
3
2
），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左右焦點，且離心率e=
1
2

（1）求橢圓C的方程．
（2）已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F2與橢圓C交于M，N兩點，若AM、AN的斜率k1，k2滿足k1+k2=-
1
2
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點B（6，0）和點C（-6，0），過點B的直線l與過點C的直線m相交于點A，設直線l的斜率為k1，直線m的斜率為k2，
（1）如果k1•k2=-
4
9
，求點A的軌跡方程，并寫出此軌跡曲線的焦點坐標；
（2）如果k1•k2=
4
9
，求點A的軌跡方程，并寫出此軌跡曲線的離心率；
（3）如果k1•k2=k（k≠0，k≠-1），根據(jù)（1）和（2），你能得到什么結論？（不需要證明所得結論）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓mx2+ny2=1，直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q兩點，且OP⊥OQ，|PQ|=
10
2
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標為4的點到焦點的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線y=kx+b與拋物線C交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a為正常數(shù)）．過弦AB的中點M作平行于x軸的直線交拋物線C于點D，連接AD、BD得到△ABD．
（i）求實數(shù)a，b，k滿足的等量關系；
（ii）△ABD的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不是定值，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若橢圓的左、右焦點分別為、，拋物線的焦點為．若，則此橢圓的離心率為（　�。�
A．      B．       C．     D．

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