如圖，在三棱錐P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC．

(Ⅰ)求證：PC⊥AB；

(Ⅱ)求二面角B－AP－C的大小；

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面APB的距離．

答案：
解析：

　　解法一：

　　(Ⅰ)取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD．

　　∵AP＝BP，

　　∴PD⊥AB．

　　∵AC＝BC．

　　∴CD⊥AB．2分

　　∵PD∩CD＝D．

　　∴AB⊥平面PCD．3分

　　∵PC平面PCD，

　　∴PC⊥AB．4分

　　(Ⅱ)∵AC＝BC，AP＝BP，

　　∴△APC≌△BPC．

　　∴PC⊥AC，

　　∴PC⊥BC．

　　又∠ACB＝90°，且AC∩PC＝C，

　　∴BC⊥平面PAC．

　　取AP中點(diǎn)E，連結(jié)BE，CE．

　　∴AB＝BP，

　　∴BE⊥AP．

　　∵CE是BE在平面PAC內(nèi)的射影，

　　∴CE⊥AP．

　　∴∠BEC是二面角B－AP－C的平面角．6分

　　在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝，

　　∴sin∠BEC＝

　　∴二面角B－AP－C的大小為aresin　8分

　　(Ⅲ)在

　　由已知，得AP＝BP＝　10分

　　，設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h

　　

　　　12分

　　解法二：

　　(Ⅰ)如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz．

　　則C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0) ．

　　設(shè)P(0，0，t)，2分

　　∵｜PB｜＝｜AB｜＝2，

　　∴t＝2，P(0，0，2)．

　　

　　　4分

　　(Ⅱ)取AP中點(diǎn)E，連結(jié)BE，CE．

　　∵｜AC｜＝｜PC｜，｜AB｜＝｜BP｜，

　　∴CE⊥AP，BE⊥AP．6分

　　∴∠BEC是二面角B－AP－C的平面角．

　　

　　∴二面角B－AP－C的大小為arccos　8分

　　(Ⅲ)∵AC＝BC＝PC，

　　∴C在平面APB內(nèi)的射影為正△APB的中心H，且CH的長為點(diǎn)C到平面APB的距離．10分

　　

　　∴點(diǎn)C到平面APB的距離為　12分


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8、如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）

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（Ⅰ）證明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-β為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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[9，+∞）
[9，+∞）
．

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如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求證：OD∥平面PAB；
（Ⅱ）當(dāng)k=
1
2
時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？
（注：若△ABC的三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），C（x3，y3，z3），則該三角形的重心坐標(biāo)為：(
x1+x2+x3
3
，
y1+y2+y3
3
，
z1+z2+z3
3
)．）

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（2012•莆田模擬）如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAC，△ABC分別是以A、B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，AB=1．
（1）現(xiàn)給出三個(gè)條件：①PB=
3
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（2）在（1）的條件下，求三棱錐P-ABC的體積．

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