Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明A₁O⊥AC，利用平面AA₁C₁C⊥平面ABC，可得A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AA₁B的一個(gè)法向量

n

=(-1，1，-

3

3

)，利用向量的夾角公式求出直線A₁C與平面A₁AB所成角，根據(jù)因?yàn)橹本�A₁C與平面A₁AB所成角θ和向量n與

A1C

所成銳角互余，可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)锳₁A=A₁C，且O為AC的中點(diǎn)，
所以A₁O⊥AC．…（1分）
又由題意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，平面AA₁C₁C∩平面ABC=AC，且A₁O?平面AA₁C₁C
∴A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，A₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可知A₁A=A₁C=AC=2，
∵AB=BC，AB⊥BC
∴OB=

1

2

AC=1
∴O（0，0，0），A（0，-1，0），A₁（0，0，

3

），C（0，1，0），C₁（0，2，

3

），B（1，0，0）
則有：

A1C

=(0，1，-

3

)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=(1，1，0)．…（6分）
設(shè)平面AA₁B的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），則有

n• AA1 =0 n• AB =0

，∴

y+ 3 z=0 x+y=0

，
令y=1，得x=-1，z=-

3

3

，所以

n

=(-1，1，-

3

3

)．…（7分）
∴cos＜

n

，

A1C

＞=

n • A1C

| n || A1C |

=

21

7

．…（9分）
因?yàn)橹本�A₁C與平面A₁AB所成角θ和向量n與

A1C

所成銳角互余，所以sinθ=

21

7

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查線面角，考查利用空間向量解決空間角問(wèn)題，正確求平面的法向量是關(guān)鍵，屬于中檔題．