Question

設(shè)圓C上的點A（2，3）關(guān)于直線x+2y=0的對稱點A仍在圓上，且直線x-y+1=0被圓C截得的弦長為2

2

．
（1）求點A′的坐標(biāo)；     
（2）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點A′的坐標(biāo)，利用對稱知識列出方程組，求出點A′的坐標(biāo)即可；     
（2）設(shè)出圓的圓心坐標(biāo)，通過A在圓上，與直線x-y+1=0被圓C截得的弦長為2

2

，列出方程，求出圓的圓心坐標(biāo)，然后求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）設(shè)點A′的坐標(biāo)（a，b），點A（2，3）關(guān)于直線x+2y=0的對稱為A′，所以

b-3 a-2 =2 a+2 2 +2× b+3 2 =0

，
解得

a= 6 5 b= 7 5

，點A′的坐標(biāo)（

6

5

，

7

5

）；     
（2）因為圓的圓心在x+2y=0，所以設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為（-2a，a），所以圓的半徑為：

(2+2a)2+(3-a)2

，
因為直線x-y+1=0被圓C截得的弦長為2

2

，所以(

|-2a-a+1|

2

)2+(

2

)2=(

(2+2a)2+(3-a)2

)2，
解得a=-3或a=-7，
所以圓的圓心坐標(biāo)為（6，-3）時，圓的半徑為：

52

；圓的方程為：（x-6）²+（y+3）²=52．
圓心坐標(biāo)為（14，-7）時，圓的半徑為：

244

，所求圓的方程為：（x-14）²+（y+7）²=244，

點評：本題考查對稱點的坐標(biāo)的求法，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查計算能力．