Question

（2008•徐匯區(qū)二模）設(shè)F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，若動點(diǎn)P（x，y）滿足|

PF1

|+|

PF2

|=4．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程；（2）求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由于點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|為常數(shù)，且大于線段|F₁F₂|的長，P的軌跡是橢圓，再根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）由

PF1

•

PF2

=x2+y2-3=

1

4

(3x2-8)，寫出其定義域，利用函數(shù)思想求最大值和最小值即可．

解答：解：（1）由橢圓定義易得動點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

4

+y2=1；------（6分）
（2）由

PF1

•

PF2

=x2+y2-3=

1

4

(3x2-8)，
∵x∈[-2，2]-----------（10分）
故當(dāng)x=0時(shí)，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，

PF1

•

PF2

有最小值-2----（12分）
當(dāng)x=±2，即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，

PF1

•

PF2

有最大值1．--------（14分）

點(diǎn)評：本題主要了向量在幾何中的應(yīng)用、橢圓的定義．點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=|F₁F₂|，P的軌跡是線段F₁F₂；點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|為常數(shù)，且大于線段|F₁F₂|的長，P的軌跡是橢圓；小于線段|F₁F₂|的長，P點(diǎn)無軌跡．